Table 2 Best braking forces \(F_{{xri_{\text{max} } ,xli_{\text{max} } }}\)and parameters of Eq. (27)

\(\left| {F_{{xri_{0} ,xli_{0} }} } \right| \le \left| {F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }} } \right|,\)

\(q_{1i} = 1,\)

\(\left| {F_{{xri_{0} ,xli_{0} }} } \right| > \left| {F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }} } \right|\)

\(q_{1i} = 0\), \(q_{2i} = 1\)

a1

\(\begin{aligned} & \text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} ,xli_{range} }} } \right|,\;\left| {F_{{xri_{np} ,xli_{np} }} } \right|,\;\left| {F_{{xri_{z\text{max} } ,xli_{{z{ \text{max} }}} }} } \right|} \right) \hfill \\ & \ge \left| {F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }} } \right|, \hfill \\ \end{aligned}\)

\(q_{2i} = 1\), \(F_{{xri_{x} ,xli_{x} }} = F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }}\), \(\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {F_{{xri_{\text{max} } }} = - \text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{np} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{z\text{max} } }} } \right|} \right),} \\ {F_{{xli_{ \text{max} } }} = - \text{min} \left( {\left| {F_{{xli_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xli_{np} }} } \right|,\left| {F_{{xli_{z\text{max} } }} } \right|} \right),} \\ \end{array} } \right.\)

\(\text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} ,xli_{range} }} } \right|,\;\left| {F_{{xri_{np} ,xli_{np} }} } \right|} \right) < \left| {F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }} } \right|\)

\(q_{2i} = 0, \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {F_{{xri_{x} }} = - \text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{z\text{max} } }} } \right|,\left| {F_{{xri_{c\text{max} } }} } \right|} \right),} \\ {F_{{xli_{x} }} = - \text{min} \left( {\left| {F_{{xli_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xli_{z\text{max} } }} } \right|,\left| {F_{{xli_{c\text{max} } }} } \right|} \right).} \\ \end{array} } \right.\)

a2

\(\text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} ,xli_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{z\text{max} } ,xli_{{z{ \text{max} }}} }} } \right|} \right) \ge \left| {F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }} } \right|,\)

\(q_{2i} = 0\), \(F_{{xri_{x} ,xli_{x} }} = F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }} ,\)

\(\left| {F_{{xri_{range} ,xli_{range} }} } \right| < \left| {F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }} } \right|\)

\(q_{2i} = 0\), \(F_{{xri_{x} ,xli_{x} }} = F_{{xri_{range} ,xli_{range} }} .\)

a3

\(\text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} ,xli_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{z\text{max} } ,xli_{{z{ \text{max} }}} }} } \right|} \right) \ge \left| {F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }} } \right|,\)

\(q_{2i} = 1, F_{{xri_{x} ,xli_{x} }} = F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }}, \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {F_{{xri_{\text{max} } }} = - \text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{z\text{max} } }} } \right|} \right),} \\ {F_{{xli_{\text{max} } }} = - \text{min} \left( {\left| {F_{{xli_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xli_{z\text{max} } }} } \right|} \right),} \\ \end{array} } \right.\)

\(\left| {F_{{xri_{range} ,xli_{range} }} } \right| < \left| {F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }} } \right|\)

\(q_{2i} = 0\), \(F_{{xri_{x} ,xli_{x} }} = F_{{xri_{range} ,xli_{range} }}\)

a1

\(\text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} ,xli_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{np} ,xli_{np} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{z\text{max} } ,xli_{z\text{max} } }} } \right|} \right) \ge \left| {F_{{xri_{0} ,xli_{0} }} } \right|,\)

\(F_{{xri_{x} ,xli_{x} }} = F_{{xri_{0} ,xli_{0} }}, \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {F_{{xri_{\text{max} } }} = - \text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{np} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{z\text{max} } }} } \right|} \right),} \\ {F_{{xli_{\text{max} } }} = - \text{min} \left( {\left| {F_{{xli_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xli_{np} }} } \right|,\left| {F_{{xli_{z\text{max} } }} } \right|} \right),} \\ \end{array} } \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left| {F_{{xri_{c\text{max} } }} } \right| \le \text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{\text{max} } }} } \right|} \right) \le \left| {F_{{xri_{np} }} } \right| \le \left| {F_{{xri_{0} }} } \right|,} \\ {\left| {F_{{xli_{c\text{max} } }} } \right| \le \text{min} \left( {\left| {F_{{xli_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xli_{ \text{max} } }} } \right|} \right) \le \left| {F_{{xli_{np} }} } \right| \le \left| {F_{{xli_{0} }} } \right|,} \\ \end{array} } \right.\)

\(F_{{xri_{x} ,xli_{x} }} = F_{{xri_{0} ,xli_{0} }}\), \(F_{{xri_{\text{max} } ,xli_{ \text{max} } }} = - \left| {F_{{xri_{np} ,xli_{np} }} } \right|,\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left| {F_{{xri_{c\text{max} } }} } \right| \le \left| {F_{{xri_{np} }} } \right| \le \text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{\text{max} } }} } \right|} \right) \le \left| {F_{{xri_{0} }} } \right|,} \\ {\left| {F_{{xli_{c\text{max} } }} } \right| \le \left| {F_{{xli_{np} }} } \right| \le \text{min} \left( {\left| {F_{{xli_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xli_{ \text{max} } }} } \right|} \right) \le \left| {F_{{xli_{0} }} } \right|,} \\ \end{array} } \right.\)

\(F_{{xri_{x} ,xli_{x} }} = F_{{xri_{0} ,xli_{0} }}\), \(F_{{xri_{\text{max} } ,xli_{ \text{max} } }} = - \left| {F_{{xri_{np} ,xli_{np} }} } \right|,\)

Else

Do not brake

a2

–

\(F_{{xri_{x} ,xli_{x} }} = F_{{xri_{0} ,xli_{0} }}\), \(F_{{xri_{\text{max} } ,xli_{ \text{max} } }} = F_{{xri_{c\text{max} } ,xli_{c\text{max} } }}\)

a3

\(\text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} ,xli_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{\text{max} } ,xli_{ \text{max} } }} } \right|} \right) \ge \left| {F_{{xri_{0} ,xli_{0} }} } \right|,\)

\(F_{{xri_{x} ,xli_{x} }} = F_{{xri_{0} ,xli_{0} }}, \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {F_{{xri_{\text{max} } }} = - \text{min} \left( {\left| {F_{{xri_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xri_{\text{max} } }} } \right|} \right),} \\ {F_{{xli_{ \text{max} } }} = - \text{min} \left( {\left| {F_{{xli_{range} }} } \right|,\left| {F_{{xli_{ \text{max} } }} } \right|} \right),} \\ \end{array} } \right.\)

Else

Do not brake